[Nivel:Intermedio]
Según la figura calcular el volumen del sólido limitado por el casquete esférico AN que se muestra, si el plano P es perpendicular a MN, tal que MN = 12, NB = 9 y la medida del ángulo \angle AMB es 90°
Solución
En el gráfico del problema vemos una figuras de 3 dimensiones(X,Y,Z), para hacer más sencillo la resolución del problema busquemos disminuir el número de dimensiones, en una vista frontal de la gráfica simulamos que tenemos dos dimensiones:
Si se traza una recta tangente sobre una circulo, según el gráfico:
Si asumimos que:
\angle ANS = \theta
Entonces:
\angle AMN = \theta
Suponiendo que el ángulo entre la recta tangente y la recta MN es \gamma
Entonces:
\angle NAM = \gamma
Dado que |\overline{OA}| = |\overline{ON}| = |\overline{OM}|
Entonces el \triangle AON es isosceles, lo mismo que el \triangle NOM
Si ahora trazamos una recta tangente sobre el otro circulo.
Si asumimos que:
\angle TNB = \beta
Entonces:
\angle MNB = \beta
El \triangle NMD es isosceles
Por tanto:
\gamma = \beta
Por condición del problema, \overline{MN} \perp Plano \quad P
Entonces:
\gamma + \theta = 90°
Por tanto:
En el \triangle NMB el \angle NBM = \theta
Entonces:
La recta tangente al segundo circulo y \overline{MN} forman un ángulo \theta
Es decir esta recta tangente tiene la misma dirección que \overline{ON}
Luego por el enunciado,
|\overline{MN}| = 12,
|\overline{NB}| = 9
\angle AMB = 90°
Quiere decir que el \triangle MNB es rectangulo y por la relación de los catetos es un triángulo notable de 37° y 53° donde \theta = 53° y \gamma = 37°
Se observa que el \triangle ANM es un triángulo rectangulo de 37° y 53° y de cateto MN igual a 12, por tanto:
|\overline{AN}| = 16
|\overline{AM}| = 20 \quad \therefore \quad R=10
Luego se traza una recta OF perpendicular a la cuerda AN, por tanto el punto E biseca a la cuerda AN.
Del triángulo rectangulo \triangle AEO de hipotenusa 10 y \angle OAE = 37° se obtiene la longitud del segmento |\overline{EO}| = 6, por tanto |\overline{EF}| = 4, dado que |\overline{OF}| = R.
El volumen solicitado será calculado:
V = \cfrac{(\pi)(|\overline{EF}|)}{6}(3\times |\overline{AE}|^{2} + |\overline{EF}|^{2}) \\ V = \cfrac{(\pi)(4)}{6}(3\times 8^{2} + 4^{2}) \\ V = \cfrac{416 \pi}{3}
GEOMETRIA Problema 20