Identidades Trigonométricas
Problema resuelto

02 octubre 2011

Problema

Demostrar:
\( {sen} 3x = 3 {sen} x - 4sen^3 x \)

Sug. Puedes usar identidades trigonometricas.

Solución


Podemos demostrar el ejercicio utilizando la fórmula de suma de ángulos pero el problema surge cuando el argumento es grande(hablamos de 5x, 6x, 7x, ...) debido a que el proceso resulta muy engorroso por ello desarrollaremos el ejercicio utilizando números complejos de esta forma fácilmente podremos calcular por ejemplo el sen5x.

Sabemos por este problema que el "seno de x" podemos expresarlo:

\( {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i} \textrm{ .....(}i\textrm{)} \)

También por el Binomio de Newton sabemos:

\( (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3} \textrm{ .....(}ii\textrm{)} \)

Ademas podemos generalizar la expresión (i) así:

\( {sen} 3x={e^{i(3x)}-e^{-i(3x)} \over 2i} \textrm{ .....(}iii\textrm{)} \)

Procedemos a elevar al cubo ambos miembros de (i): \( (2i)(sen x)=e^{ix}-e^{-ix} \\ \rightarrow [(2i)(sen x)]^3=[e^{ix}-e^{-ix}]^3 \\ \rightarrow (2i)^3(sen^3 x)=[e^{ix}-e^{-ix}]^3 \)

Aplicando (ii) y lo aprendido en este problema \( 2^3 i^3(sen^3 x)={e^{ix}}^{3}-3{e^{ix}}^{2}{e^{-ix}}+3{e^{ix}}{e^{-ix}}^{2}-{e^{-ix}}^{3} \\ \rightarrow 8(-i)(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-3{e^{i(2x)}}{e^{-ix}}+3{e^{ix}}{e^{-i(2x)}}-{e^{-i(3x)}} \\ \rightarrow 8(-i)(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-3{e^{i(2x)-ix}}+3{e^{ix-i(2x)}}-{e^{-i(3x)}} \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-3{e^{ix}}+3{e^{-ix}}-{e^{-i(3x)}} \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}}-3{e^{ix}}+3{e^{-ix}} \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}}-(3{e^{ix}}-3{e^{-ix}}) \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}}-(3{e^{ix}}-3{e^{-ix}}) \)

Acomodamos para obtener expresiones similares a (i) y (iii) \( \rightarrow {-8i(sen^3 x) \over 6i} ={{e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}} \over 6i} -{(3{e^{ix}}-3{e^{-ix}}) \over 6i} \\ \rightarrow {-8\over 6}(sen^3 x) ={{e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}} \over 6i} -{({e^{ix}}-{e^{-ix}}) \over 2i} \\ \rightarrow {-4\over 3}(sen^3 x) ={1 \over 3} \times {{e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}} \over 2i} -{({e^{ix}}-{e^{-ix}}) \over 2i} \)

De (i) y (iii) \( {-4\over 3}(sen^3 x) ={1 \over 3} {sen} 3x - {sen} x \\ \rightarrow {sen} 3x = 3 {sen} x - 4sen^3 x \)


Analogamente podemos calcular fácilmente el sen4x,sen5x, sen6x, sen7x, sen8x, sen9x, ...

Transformada de Fourier
Problema resuelto

25 septiembre 2011

Problema

Calcular la TDF de:


Sug. Derivar f(t) y proceder a calcular TDF.

Solución


Nos piden calcular la Transformada de Fourier de:



Para ello procedemos a derivar (i)



Aplicamos la TDF en ambos miembros de la ecuación anterior:



Recordemos las siguientes propiedades de la TDF:



Por tanto aplicando las propiedades en (ii):





Pero:



Esto en (iii):



Efectuando:



Integramos:







Solo nos faltaría hallar la constante c1, para ello recordemos que:



Pero de (iv) notamos que obtenemos c1 cuando w=0, es decir:



Evaluando en (v), w=0



De un ejercicio anterior sabemos el valor de la integral, por tanto c1 será:



Luego de (iv), tendremos:




La gráfica de f(t) es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss

 

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