IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO DOBLE

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema


Calcular el cos36°


Solución:

Por un problema anterior sabemos:


Si colocamos el sen18° en un triángulo rectángulo:



Vemos que no conocemos la longitud del lado AB

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del cateto AB



Entonces el triángulo rectángulo de 18° y 72° es:



Del triángulo:


Sabemos por identidades trigonométricas de ángulo doble:


Luego de (I),(II) y (III):

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO TRIPLE

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Calcular el Sen18°


Solución:

Sabemos que:
Si la suma de dos ángulos agudos es 90° entonces el seno de uno es igual al coseno del otro, es decir:


Por otro lado de la siguiente igualdad:

deducimos que:


Sabemos por identidades trigonométricas de ángulo triple:


De (I) en (III):


Operamos tratando de expresar la ecuación en función de una sola razón trigonométrica.


Pasando todo al primer miembro de la ecuación trigonométrica:


Notamos que (IV) es una ecuación de 2do grado cuya variable es "senx", por tanto al calcular las soluciones de esta ecuación calcularemos las soluciones del "senx"


Tenemos 2 soluciones, la 1ra solución resulta ser mayor que cero y la 2da solución resulta ser menor que cero.

Pero el senx debe tomar solo una solución ¿Cuál elegimos?

De (II) vemos que x=18°, es decir x es un ángulo agudo.

Sabemos que las razones trigonométricas de los ángulos agudos siempre son mayores que cero por lo tanto el senx tomara el valor de la 1ra solución.

Dado que x=18°, concluimos:


NOTA:
En el paso (i) al ser el cosx distinto de cero se procede a eliminarlo sin problemas.