Funciones, Derivadas
Problema resuelto

21 abril 2018


Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes


Problema


Problema

El departamento de investigación de fragancias para mujeres "Las Bonitas" observa que cuando sus perfumes se venden a \(\$\)200 cada uno se venden 100 al mes. Sin embargo cuando el precio sube a \(\$\)250, solo se venden 50 al mes. Suponiendo que la demanda es lineal ¿A que precio se deben vender para obtener los ingresos máximos?


Solución 1:

Sabemos que la ecuación de una recta es:
\( \cfrac{Y-y_{0}}{X-x_{0}}=m \quad ...(i) \)

donde:
\(m\): es la pendiente de la recta, es un valor constante, nos indica cuan empinada es una recta.
\((x_{0},y_{0})\): es un punto de la recta, como se aprecia en el gráfico de abajo.

21-04-2018 1a

Podemos generalizar \((i)\) para dos puntos en la recta.
\( \cfrac{Y-y_{0}}{X-x_{0}} =\cfrac{Y-y_{1}}{X-x_{1}} \quad ...(ii) \)

Utilizando la propiedad aritmética:
\( \cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=\cfrac{a-c}{b-d} \)
En \((ii)\):
\( \cfrac{Y-y_{0}}{X-x_{0}} =\cfrac{Y-y_{1}}{X-x_{1}}=\cfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} \quad ...(iii) \)

Si asumimos que el eje \(Y\) represente el \( \textrm{precio del perfume}\) y el eje \(X\) la \( \textrm{cantidad de perfumes vendidos}\) y dado que tienen una relación lineal, entonces el par ordenado \( (\textrm{precio del perfume},\textrm{la cantidad de perfumes vendidos})\) es un punto que pertenece a una recta.

Del enunciado se identifican 2 puntos:
\( (x_{0},y_{0}) = (200,100) \)
\( (x_{1},y_{1}) = (250,50) \)
Reemplazando en \((iii)\), tenemos:
\( \cfrac{Y-200}{X-100} =\cfrac{Y-250}{X-50}=\cfrac{50}{-50}=-1 \\ \rightarrow Y = -X + 300 \quad ...(iv) \)
Es decir:

21-04-2018 1b

La ganancia, \(G_{(x)}\), viene dada por:
\( G_{(x)}= (\textrm{precio del perfume}) \times (\textrm{cantidad de perfumes vendidos}) \)
\( G_{(x)}= (x) (y) \)
\( G_{(x)}= (x) (-x+300) \\ \rightarrow G_{(x)}= -x^2+300x \quad ...(v) \)

Queremos encontrar con que valor de \(x\) la función \(G_{(x)}\) alcanza su valor más grande, una forma de hacer ello es derivar la función \(G_{(x)}\) respecto a \(x\) e igualar a cero, es decir
\( \cfrac{\mathrm{d}G_{(x)}}{\mathrm{d}x}=0 \\ \rightarrow \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x^2+300x)=0 \\ \rightarrow -2x+300 = 0 \\ \rightarrow x = 150 \)

Nota
La segunda derivada de \(G\), es decir \(G''\), resulta -2 esto comprueba que el valor de \(x\) maximiza la función G.

Sistemas de Medición Angular
Bosquejo


Problema


El número de grados x de cierto ángulo es igual a la semidiferencia entre π veces su número de grados sexagesimales y el cuádruple de su número en radianes. Entonces halle un grado x en radianes.

Bosquejo:

Graficamente en \(grados \textrm{ }Sexagesimales\textrm{ }180^o\) es:

19-04-2018 1a
Su equivalente en \(radianes\) es \(\pi \textrm{ rad}\)

19-04-2018 1b

Es el mismo ángulo expresado pero en distintos sistemas de medición angular, en \( \textrm{grados sexagesimales}\) el \(número\) que representa el ángulo es \(180\), sin el \(^o\), mientras que en \(\textrm{radianes}\) el \(número\) que representa el mismo ángulo es \(3.1415...\) más conocido como \(\pi\), sin \(\textrm{rad}\).

Dado que es el mismo ángulo, cumple:
\(180^o=\pi \textrm{ rad}\)

Pero obviamente sus números son distintos:
\(180\neq\pi \)

Supongamos que tenemos un ángulo representado en el \( \textrm{sistema sexagesimal}\),\( \textrm{sistema radial}\) y \( \textrm{sistema x}\), dado que es el mismo ángulo entonces cumple:
\(S^o=R \textrm{ rad}=D^x \quad ...(i)\)
Obviamente
\(S\neq R \neq D \)

19-04-2018 1c

Sin embargo, sabemos que la relación de equivalencia entre los números de los distintos sistemas de medición angular es:

\( \cfrac{S}{180}=\cfrac{R}{\pi} \\ \rightarrow \quad \pi S=180R \quad ...(ii) \)

Del enunciado del problema, tenemos:
\( D = \cfrac{\pi S-4R}{2} \quad ...(iii) \)

De \((ii)\) y \((iii)\):
\( \cfrac{D}{R} = 88 ...(iii) \)

De \((i)\):
\(1^x = \cfrac{R}{D} \textrm{ rad} \quad ...(iv)\)
De \((iii)\) y \((iv)\) obtienes a cuantos radianes equivale un grado \(x\), es decir \(1^x\).

 

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