ALPHAMETICS
Problema resuelto

30 julio 2012

Este tipo de pregunta me consultaron varias veces.

Problema

Resolver:

Sug. Empezar hallando los valores de n,d,t,i.


Solución


De los datos dados los valores que toman n,d,t,i son:



Y los posibles datos que toman e,f,x,a,z son:



Si plasmamos lo que ocurre cuando procedemos a sumar en un diagrama de arbol obtenemos



Cuando empezamos a sumar ocurre que:

1) La suma de d+t nos de un número de 1 solo dígito, o por el contrario que

2) La suma de d+t nos de un número de 2 dígitos.
Supongamos que ocurre 2) luego en el siguiente nivel ocurrirá que:

3) La suma de n+i+1 nos de un número de un solo dígito, donde 1 es el acarreo de la suma anterior es decir de 2) ;por el contrario ocurrirá que

4) La suma de n+i+1 nos de un número de 2 dígitos.

Analogamente ocurrirá en en los siguientes niveles...

En la tabla 1, plasmamos 1) y 2):

Tabla 1
TABLA 1

El valor 10 no es valido porque e no puede tomar el valor cero.

Plasmamos lo que ocurre en los siguiente niveles en las siguientes tablas:

Tabla 2
TABLA 2

Tabla 3 (clic sobre la imagen para ampliar)
TABLA 3

Tabla 4 TABLA 4

m no puede tomar el valor de 10 u 11, recordemos que m representa a un número de un solo dígito.


Procedamos a calcular valores de las variables que cumplan la suma pedida.


Del diagrama de árbol, supongamos que:

a) d+t es un número de dos dígitos, viendo la TABLA 1, la columna d+t=1e notamos que hay 3 posibilidades que podemos elegir para los valores de t. Supongamos que elegimos t=5 con d=9, por lo tanto e=4

b) n+i es un número de un dígito, viendo la TABLA 2, la columna n+i=z notamos que hay 7 posibilidades que podemos elegir para los valores de las variables d,n,i, pero como en a) d=9 el número de posibilidades se reduce a 3. Supongamos que elegimos i=1 con n=3 y d=9.

c) i+x es un número de un dígito, viendo la TABLA 3, la columna i+x=a donde i=1 notamos que hay 9 posibilidades que podemos elegir para el valor de a. Supongamos que elegimos x=2 con i=3; por último.

d) f+e=m donde de a) sabemos que e=4, viendo la TABLA 4 con e=4, la columna f+e=m notamos que hay 5 posibilidades que podemos elegir para el valor de f. Supongamos que elegimos f=2 con e=4.

Obtenemos:

ejemplo
Otras sumas serán:
ejemplo

Obtendremos más sumas procediendo como en a),b),c),d).


La respuesta es amplia debido a que el problema no tiene muchas restricciones.

Identidades Trigonométricas
Problema resuelto

02 octubre 2011

Problema

Demostrar:


Sug. Puedes usar identidades trigonometricas.

Solución


Podemos demostrar el ejercicio utilizando la fórmula de suma de ángulos pero el problema surge cuando el argumento es grande(hablamos de 5x, 6x, 7x, ...) debido a que el proceso resulta muy engorroso por ello desarrollaremos el ejercicio utilizando números complejos de esta forma fácilmente podremos calcular por ejemplo el sen5x.

Sabemos por este problema que el "seno de x" podemos expresarlo:



También por el Binomio de Newton sabemos:



Ademas podemos generalizar la expresión (i) así:


Procedemos a elevar al cubo ambos miembros de (i):


Aplicando (ii) y lo aprendido en este problema


Acomodamos para obtener expresiones similares a (i) y (iii)




De (i) y (iii)


finalmente:



Para calcular el Sen5x procedemos análogamente:















Finalmente reemplazando (iv) en la expresión anterior:




De esta forma podemos calcular fácilmente el sen4x,sen5x, sen6x, sen7x, sen8x, sen9x, ...

 

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