Funciones Trigonométricas Inversas
Solución

24 mayo 2018


Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes


Problema


Calcular: \( arctan(1) \)

Solución:

Observamos la función \( y = arctang(x)\) en el gráfico de abajo.
arctang 2

Cuando \( x\) toma el valor de \(1\), vemos que \( y\) tomará el valor de \( arctang(1)\).
arctang 2ba
Luego tenemos:
\( y=arctang(1) \\ \rightarrow \quad tan(y)=1 \quad ...(i) \)

Recordemos el triángulo rectángulo notable de 45°
45 grados 1
De donde se obtiene que:
\( tan(45°)=1 \)
O equivalentemente:
\( tan(\pi/4)=1 \quad ...(ii) \)

De \( (i) \) y \( (ii) \) obtenemos que:
\( y= \cfrac{\pi}{4} \)

Finalmente:
arctang 2b


Identidades Trigonométricas
Solución

05 mayo 2018


Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes


Problema


Si se cumple que:

\(1 - Sen x = 8Cos x\)

Obtenga el valor de \(16 Secx - 5\)

Bosquejo:

Del enunciado tenemos la ecuación: \(1 - Sen x = 8Cos x \quad ...(i)\)

Elevando al cuadrado la ecuación \((i)\): \( (1 - Sen x)^2 = (8Cos x)^2 \\ \rightarrow 1^2 - 2(1)(Senx) + (Senx)^2 = 8^2 (Cos x)^2 \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 Cos^{2} x \quad ...(ii) \)

Dado que \( Cos^{2} x = 1 - Sen^{2}x\)

Luego de \((ii)\):
\( 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 (1 - Sen^{2}x) \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ 65 Sen^{2} x - 2Senx - 63 = 0 \)

Factorizando el polinomio:
\( \begin{matrix} 65 Sen^{2} x & - 2Senx & - 63 \\ 65 Sen x & & + 63 \\ Sen x & & - 1 \end{matrix} \)

\( \rightarrow (65 Sen x + 63 )(Sen x - 1) = 0 \)

Luego, resolviendo la ecuación anterior se observa que el \(Senx\) puede tomar 2 valores.
\( \textrm{Primer valor: } Senx = 1 \\ \textrm{Segundo valor: } Senx = -\cfrac{63}{65} \)

Nos solicitan calcular: \(16 Secx - 5\)

Luego del \( \textrm{Primer valor: } Senx = 1 \) ,se infiere que \(x = \frac{\pi}{2}\)
Sin embargo, recordemos que \(Sec \frac{\pi}{2} = +\infty\)
Por lo tanto lo solicitado \(16 Secx - 5\) tiende a \(+\infty\)

Si ahora elegimos el \( \textrm{Segundo valor: } Senx = -\cfrac{63}{65} \)
Reemplazando en \((i)\):
\(1 - Sen x = 8Cos x \\ \rightarrow 1 - \left( -\cfrac{63}{65} \right) = 8Cos x \\ \rightarrow Cos x = \cfrac{16}{65} \\ \rightarrow Sec x = \cfrac{65}{16} \)

Finalmente bastará con reemplazar el valor de la \(Sec x\) en \(16 Secx - 5\) para obtener el valor solicitado.


 

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