ARITMETICA: Fracciones



Problema 1

Se necesitan 3 1/4 naranjas para obtener un vaso de jugo. ¿Cuántas naranjas se necesitarían para obtener 4 vasos de jugo?

Solución:

Primero pasemos el número mixto 3 1/4 a fracción:


\( {3}\cfrac{1}{4} \rightarrow \cfrac{3(4)+1}{4} \rightarrow \cfrac{13}{4} \)

En el siguiente gráfico:
indicamos con linea de color negro :
...3 1/4 naranjas para obtener 1 vaso de jugo...
e indicamos con linea de color rojo:
...Cuántas naranjas se necesitarían para obtener 4 vasos de jugo...

\( \begin{matrix} \textrm{naranjas}& &\textrm{vasos} \\ \frac{13}{4}&\rightarrow&{1} \\ {x}&\rightarrow&{4} \end{matrix} \)

Notamos que a MAYOR # de naranjas que tengamos se podra llenar cuantos MAS # de vasos; o también:
que a MENOR # de naranjas que tengamos se podra llenar cuantos MENOS # de vasos
Por lo tanto concluimos hablamos de una REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.
Por lo tanto calcularemos de la siguiente manera.

\( \cfrac{\frac{13}{4}}{x} {=} \cfrac{1}{4} \rightarrow \cfrac{\frac{13}{4}}{\frac{x}{1}} {=} \cfrac{1}{4} \rightarrow \cfrac{13}{4x} {=} \cfrac{1}{4} \)

\( \rightarrow {x} {=} {13} \)

Si no entendiste el proceso de la división puedes revisar ese concepto aqui.

Se necesitarían 13 naranjas para llenar 4 vasos.




Problema 2

Alicia desea repartir 5 1/2 libras de frutas en 5 empaques plásticos iguales para conservarlas.
¿Cuántas libras de fruta debe poner en cada recipiente?

Solución:

Antes de resolver este problema, supongamos lo siguiente:
Tienes 10 naranjas y te piden que debes dar a 5 personas las naranjas. Pero a cada persona le debe de tocar el mismo número de naranjas.¿Cuantas naranjas le toca a cada persona?
Es Facil dices, solo divido 10/5 = 2
Entonces, a cada persona le toca 2 naranjas.

En el problema,seguiremos el mismo procedimiento, primero notemos que:

\( {5} \cfrac{1}{2} \rightarrow \cfrac{5(2)+1}{2} \rightarrow \cfrac{11}{2} \)

Siguiendo el procedimiento del ejemplo, tenemos:

\( \cfrac{\frac{11}{2}}{5} \rightarrow \cfrac{\frac{11}{2}}{\frac{5}{1}} \rightarrow \cfrac{11}{10} \)

En cada recipiente debe colocar 1 1/10 libras de fruta.
Si no entendiste el proceso de la división puedes revisar ese concepto aqui.

Problema 3

Luis tenía un pedazo de cuerda de 5/8m de largo. Lo cortó en 4 pedazos iguales. ¿De que medida es cada pedazo?

Solución:

Siguiendo el mismo razonamiento del problema anterior, tenemos:

\( \cfrac{\frac{5}{8}}{4} \rightarrow \cfrac{\frac{5}{8}}{\frac{4}{1}} \rightarrow \dfrac{5}{32} \)


Cada pedazo de cuerda medirá 5/32 metros.
Si no entendiste el proceso de la división puedes revisar ese concepto aqui.



Problema 4

Compré una nevera para mi casa por $750000. María, mi vecina, quiere que se la venda.
Yo acepto y el precio es 3/5 del precio de compra. ¿Cuánto me debe cancelar María?

Solución:

Precio de compra : 750 000
Precio de venta : p
...el precio es 3/5 del precio de compra...

\( p = 750000 \textrm{x} \cfrac{3}{5} \)

\( \rightarrow p = \cfrac{750000(3)}{5} \rightarrow p = 450000 \)


Problema 5

En un vaso de papel de forma conica que llamermos de tipo A caben las dos terceras partes del contenido de otro vaso que llamaremos de tipo B ¿Cuantos vasos de tipo A se necesitaran para llenar 24 vasos de tipo B?

Solución:

Tenemos 2 tipos de vasos:
1) Vaso de tipo A
2) Vaso de tipo B

El contenido de 1 Vaso de tipo B podemos vacearlo en 2 vasos, uno que contenga la tercera parte del contenido del vaso de tipo B, es decir contega 1/3 del contenido del vaso de tipo B; y otro que contenga el resto es decir que contenga 2/3 del contenido del vaso de tipo B.
Tengamos en cuenta que 1 vaso del tipo A contiene 2/3 del contenido del vaso de tipo B.


\( \textrm{1 Vaso B} = \cfrac{1}{3} \textrm{(1 Vaso B)} + \cfrac{2}{3} \textrm{(1 Vaso B)} \)



\( \textrm{1 Vaso A} = \cfrac{2}{3} \textrm{(1 Vaso B)} \rightarrow \textrm{1 Vaso B} = \cfrac{3}{2} \textrm{(1 Vaso A)} \)



\( \rightarrow \textrm{1 Vaso B} = \cfrac{1}{3} \textrm{x} \cfrac{3}{2} \textrm{(1 Vaso A)} + \textrm{(1 Vaso A)} \)



\( \rightarrow \textrm{1 Vaso B} = \cfrac{1}{2} \textrm{(1 Vaso A)} + \textrm{(1 Vaso A)} \)

Por tanto:
En 24 vasos de tipo B, tenemos 24 vasos que contienen 1/3 de contenido de vaso B y 24 vasos que contienen 2/3 de contenido de vaso B

\( \rightarrow \textrm{24(1 Vaso B)} = {24} \textrm{x} \cfrac{1}{2} \textrm{(1 Vaso A)} + \textrm{24(1 Vaso A)} \)

\( \rightarrow \textrm{24 Vasos B} = \textrm{(12 Vasos A)} + \textrm{(24 Vasos A)} \)

Vemos que en 24 vasos de tipo B, tendremos:
12 + 24 = 36 vasos del tipo A



Problema 6

Una fracción es tal que si al numerador se le suma 9, el valor de la fracción resultante es 1; y si al denominador se le suma 9, el valor de la fracción es de 1/2.
Halle la fracción.

Solución:


\( \textrm{La fraccion: } \cfrac{x}{y} \)

\( \textrm{1ra Condición: } \cfrac{x+9}{y} = 1 \)

\( \textrm{2da Condición: } \cfrac{x}{y+9} = \cfrac{1}{2} \)

\( \textrm{De la 1ra Condición: } \cfrac{x+9}{y} = \cfrac{1}{1} \rightarrow \cfrac{x+9+y}{y} = \cfrac{1+1}{1} \rightarrow x+9+y = 2y \)

\( \textrm{De la 2da Condición: } \cfrac{x}{y+9} = \cfrac{1}{2} \rightarrow \cfrac{x+y+9}{x} = \cfrac{1+2}{1} \rightarrow x+y+9 = 3x \)

\( \therefore 2y = 3x \rightarrow \cfrac{x}{y} = \cfrac{2}{3} \)

Problema 7
Dos grifos tardan en llenar un deposito 3 horas. Sabiendo que el segundo tarda 8 horas más que el primero en llenar solo el deposito. Hallar las horas que tarda cada uno de los grifos en llenar el deposito de agua.

Solución:

Existen varias formas de resolver este tipo de problemas, en esta oportunidad resolveremos el problema usando la siguiente fórmula de física, pero ajustaremos la formula para nuestro caso.

Sabemos que:
\( distancia = velocidad . tiempo \)
Para el problema:
1) La distancia será representada por el volumen ( V ) de agua que logra llenar un grifo.
2) El tiempo será representado por el tiempo ( t ) que permanece abierto el grifo.
3) La velocidad será representada por el cauda ( C ) de agua que sale del grifo.

\( volumen = caudal . tiempo \rightarrow V = {c} {.} {t} \)
Segun el problema hay 2 grifos, llamemoslos como grifo A y grifo B.

Si un grifo esta abierto 3 horas, en este periodo de tiempo habra emanado una cantidad de agua, es decir habra emanado un volumen. Lo mismo ocurre con el otro grifo.


\( V_A : \textrm{Volumen del grifo A} \\ t_A : \textrm{tiempo en que esta abierto el grifo A} \\ c_A : \textrm{caudal del grifo A} \)

\( V_A {=} c_A . t_A \)

\( V_B {=} c_B . t_B \)
Si ambos grifos están abiertos 3 horas, en este periodo de tiempo cada uno de los grifos contribuira con un volumen. Es decir el volumen total sera la suma del volumen que emana el grifo A y del volumen que emana el grifo B .

\( V {=} V_A + V_B \)
En el ejercicio, la frase:
"Dos grifos tardan en llenar un deposito 3 horas"
al traducir a matematica:

\( V = c_A . t_A + c_B . t_B \)

\( \rightarrow V = c_A . 3 + c_B . 3 \)

\( \rightarrow V = (c_A + c_B )3 \quad .....(I) \)
En el ejercicio, la frase:
"el segundo tarda 8 horas más que el primero en llenar solo el deposito"
al traducir a matematica:
Que sea:
t : tiempo en que demora llenar el tanque el grifo A

\( V = c_A . t \)

\( \rightarrow \cfrac{V}{t} = c_A \quad .....(II) \)
t+8 : tiempo en que demora llenar el tanque el grifo B

\( V = c_B . (t+8) \)

\( \rightarrow \cfrac{V}{t+8} = c_B \quad .....(III) \)
Sustiyendo en la ecuación ( I ) tanto la ecuación ( II ) como la ecuacion ( III ):

\( V = (\cfrac{V}{t} + \cfrac{V}{t+8} )3 \quad .....(I) \)
Factorizando V en el primer miembro de la ecuación:

\( V = (\cfrac{1}{t} + \cfrac{1}{t+8} )3V \quad .....(I) \)

\( \rightarrow 1 = (\cfrac{1}{t} + \cfrac{1}{t+8} )3 \quad .....(I) \)
Efectuando la suma de fracciones algebraicas:

\( 1 = (\cfrac{t+8+t}{t(t+8)} )3 \)

\( \rightarrow t(t+8) = (t+8+t)3 \)

\( \rightarrow t^2+8t = (2t+8)3 \)

\( \rightarrow t^2+8t = 6t+24 \)

\( \rightarrow t^2+8t - 6t - 24 = 0 \)

\( \rightarrow t^2+2t - 24 = 0 \)
Al factorizar el polinomio cuadratico tenemos:

\( \rightarrow (t + 6)(t - 4) = 0 \)
Como el tiempo no puede ser negativo, entonces :
El grifo A tarda 4 horas en llenar el tanque mientras que el grifo B tarda 12 horas en llenar el tanque.


Problema 8

Un grifo llena un deposito en dos horas. En el momento de llenarse y sin
cerrar el grifo, se abre un desague que vacia el deposito en cuatro horas ¿En
cuánto tiempo se vaciaria el deposito si se cerrara el grifo?

Solución:

Otra forma de resolver este tipo de problema de matematica, es la siguiente.

Busquemos cuanto llenan o vacian pero en 1 hora, esto lo realizamos de la siguiente manera:

En el problema, teniendo en cuenta la frase:
" Un grifo llena un deposito en dos horas "

Formulamos lo siguiente:
" Si el grifo llena el deposito en 2 horas ¿Qué parte del deposito llenara en 1 hora? "
07-02-2009  graph 1
\( Deposito = 1 \)

En el grafico notar la forma como indicamos "llena el deposito" lo representamos como la unidad es decir representamos el deposito lleno como 1.

\( \textrm{Si el grifo llena el deposito en 2 horas}\\ \textrm{En 1 hora llenará } \frac{1}{2} \textrm{ del deposito} \)

En el ejercicio, de la frase:
"En el momento de llenarse y sin cerrar el grifo, se abre un desague que vacia el deposito en cuatro horas"
al traducir a matematica, entendemos que tanto el grifo como el desague están activos, es decir por un lado por el grifo ingresa agua y por el desague sale agua.

Formulamos lo siguiente:
" Si estando activos tanto el grifo como el desague se vacia el deposito en 4 horas ¿ Que parte del deposito se vaceará en 1 hora ?"

\( \textrm{Si estando activos tanto el grifo como el desague se vacia el deposito en 4 horas }\\ \textrm{En 1 hora se vaceará} \frac{1}{4} \textrm{ del deposito} \)

Formulamos lo siguiente:
" Si el desague vacia el deposito en t horas ¿Qué parte del deposito vaceará en 1 hora? "

\( \textrm{Si el desague vacia el deposito en t horas }\\ \textrm{En 1 hora se vaceará } \frac{1}{t} \textrm{ del deposito} \)

Como el desposito se vacia, entendemos que sale más agua de la que entra, es decir la cantidad de agua que sale por el desague menos la cantidad de agua que ingresa por el grifo es la cantidad de agua que sale cuando los 2 estan activos, en una hora:

\( \cfrac{1}{t} - \cfrac{1}{2} = \cfrac{1}{4} \)

\( \rightarrow \cfrac{1}{t} = \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{4} \)

\( \rightarrow \cfrac{1}{t} = \cfrac{3}{4} \)

\( \rightarrow t = \cfrac{4}{3} \textrm{ hora}\)

Calculemos el equivalente de t en horas y minutos:

\( \cfrac{4}{3}\textrm{ hora}\rightarrow \cfrac{3+1}{3} \rightarrow \cfrac{3}{3}+\cfrac{1}{3} \rightarrow 1+\cfrac{1}{3} \rightarrow 1 \textrm{ hora} +\cfrac{1}{3}\textrm{ hora} \)

\( \cfrac{1}{3}\textrm{ hora}\rightarrow \cfrac{1}{3} (60 \textrm{ minutos}) \rightarrow (20 \textrm{ minutos}) \)

\( \therefore \cfrac{4}{3}\textrm{ hora } = 1 \textrm{ hora y 20 minutos}\)