Planteo de ecuaciones Problema resuelto

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

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Problema 1


Lucero escribió:

El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres, si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres. ¿Cuántos hombres hay?


Solución:


Según el problema, supongamos que:
H : número de hombres
M : número de mujeres

En la frase del problema:" El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres "
Al traducirlo a matemática, tenemos:
H = 5M ..........( i )

En la frase del problema:" en total hay 42 personas entre hombres y mujeres "
Al traducirlo a matemática, tenemos:
H + M = 42 ..........( ii )

Vemos que con estas 2 condiciones del problema obtuvimos 2 ecuaciones, bastará con resolverlas para hallar los valores de H y M.

Luego reemplazando la ecuación ( i ) en la ecuación ( ii ):
H + M = 42
→ 5M + M = 42
→ 6M = 42
→ M = 42/6
→ M = 7

Vemos que hay 7 mujeres, para calcular el número de hombres usamos la ecuación ( i ):
H = 5M
→ H = 5(7)
→ H = 35

Por lo tanto hay 35 hombres.

Conjuntos Problema resuelto

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Problema 1


Anónimo escribió:

Ana se ganó una bici nueva y se lo contó a dos amigos suyos, quienes 10 minutos después le repitieron la noticia a otros dos amigos suyos cada uno. Otros diez minutos después estos amigos se lo contaron a 2 amigos cada uno, si siguiera corriendo la noticia de la misma forma
¿Cuántos personas se habrán enterado a los 80 minutos?

Solución:

Según el problema, sucede los siguiente:


Ana cuenta la noticia a sus 2 amigos, esta es la 1ra vez que se divulga la noticia, se puede considerar como el minuto cero.

Estos 2 amigos, cada uno a su vez cuentan la noticia a otros 2 amigos, es decir esta es la 2da vez que se divulga la noticia, luego de 10 minutos.



La 8va vez que se divulga la noticia, el número de amigos que se habrá enterado será:



Es decir:



Luego para conocer el número de amigos que saben la noticia bastará con sumar la columna # de amigos del cuadro anterior.

# de amigos = 2+ 4 + 8 + ... + 256

Notamos que esta suma hace referencia a una progresión geométrica de razón igual a 2, de 1er término igual a 2 y de último término igual a 256.

Luego, la suma de una progresión geométrica esta dada por:



Por lo tanto se habrán enterado que Ana tiene una bici nueva 510 personas luego de 80 minutos.

Sumatoria Problema resuelto

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Problema 1


Christopher escribió:

Sea S = (x+20)+(x+21)+(x+22)+ . . . +(x+100), donde x es un entero positivo. Halle el menor valor de x para que S sea un cuadrado perfecto.

Solución:



Notamos que tenemos una suma de n términos.



Luego de separar las variables x por un lado y por el otro los números, tenemos:



Tenemos la siguiente suma:



Notamos que es una progresión aritmética de razón igual a 1.
Nos preguntamos ¿Cuántos términos tiene esta suma?, Calculamos el número de términos aplicando la siguiente fórmula:



Por lo tanto esta suma tiene 81 términos.
Para calcular la suma de esta progresión aritmética usamos la siguiente formula.



Sabemos que la siguiente suma tiene 81 términos.



Es decir, al calcular la suma resulta:



Luego:



Por condición del problema S es un cuadrado perfecto.
Por ejemplo podemos decir que 9 es un cuadrado perfecto porque 9 = 3².
Por ejemplo podemos decir que 25 es un cuadrado perfecto porque 25 = 5².
Por ejemplo podemos decir que 64 es un cuadrado perfecto porque 64 = 8².

De aqui podemos decir que la raiz cuadrada de 9 es 3, o también la raiz cuadrada de 25 es 5. Luego en S.



Como el problema pide hallar el menor valor de x, tendríamos:



Luego el menor valor de x es 4.

Numeración Problema resuelto

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Problema 1


Anónimo dijo:

Un número de dos cifras es iguala "p" veces la suma de sus cifras, en cambio el mismo número, pero con las cifras en orden invertido resulta ser "q" veces la suma de sus cifras, entonces (p+q) es:

Solución:

Antes de resolver el problema veamos los siguientes. Supongamos un número de 2 cifras por ejemplo:
25

Pero sabemos que : 25 = 20 + 5

Además sabemos que : 20 = 10(2)

Entonces : 25 = 10(2) + 5

Para referirnos a un número de 2 cifras cualquiera, vamos a utilizar la siguiente notación:


Además por la deducción anterior sabemos que:


En la frase del problema:"Un número de dos cifras es iguala "p" veces la suma de sus cifras"
Al traducirlo a matemática, tendremos:


Luego de la expresión ( i ), tendremos:


En la frase del problema:"el mismo número, pero con las cifras en orden invertido resulta ser "q" veces la suma de sus cifras"
Al traducirlo a matemática, tendremos:


Sumando la ecuación ( i ) y ( ii ):



Luego factorizando 11 en el 1er Miembro de la ecuación:



Pasando a dividir (a+b) del 2do Miembro al 1er Miembro de la ecuacion:



Nota: el 2do Miembro de la ecuación resultante al sumar ( i ) y ( ii ), resulta de factorizar (a+b).

Cuatro operaciones Problema resuelto

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Problema 1


Anónimo escribió:

Si a un número se le duplica, luego se le saca la raíz cuadrada, luego se le suma seis y se obtiene 8. ¿Cuál es dicho número?


Solución:

Supongamos que:
a : el número dado

Hallemos la ecuación que nos permitirá hallar el número a, según nos indica el problema.

En la frase del problema: "Si a un número se le duplica"
Al traducirlo a matemática, tendremos:


En la frase del problema: "luego se le saca la raíz cuadrada"
Al traducirlo a matemática, tendremos:


En la frase del problema: "luego se le suma seis"
Al traducirlo a matemática, tendremos:


En la frase del problema: "y se obtiene 8"
Al traducirlo a matemática, tendremos:


Para calcular el valor de a bastará con resolver la ecuación anterior:

Leyes de exponentes Problema resuelto

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Problema 1


Calcular:

Solución:

Teoria Relacionada gracias a WIKIPEDIA
- Potenciación
- Potencia de un producto
- Potencia de una potencia


Sabemos que:


Reemplazando los valores equivalentes a 32 y 243 en la siguiente división:


Si reemplazamos ahora el valor equivalente de (32/243) en:

Progresión geométrica Problema resuelto

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Problema 2


Daniela escribió:

Calcular el término central de una progresión geométrica que empieza en raíz 2 y termina en 200 raíz 2.

Nota: donde dice raíz significa que allí va una raíz cuadrada.


Solución:

El término central de una progresión geométrica es:


donde:
a₁: 1er término de la progresión geométrica
an: último término de la progresión geométrica
Además los valores que toman de acuerdo al problema son:


Luego el término central de la progresión geométrica será:

Ecuaciones trigonometricas Problema resuelto

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Problema 1


Alejandra escribió:

En un día despejado con D horas de claridad se sabe que la intensidad de la luz solar I se puede escribir adecuadamente como I = Im Sen(πt/D), para 0 ≤ t ≤ D; donde t = 0 corresponde al amanecer e Im es la intensidad máxima. ¿Aproximadamente a que hora se tiene I = Im/2 ?

Solución:

La intensidad de la luz solar es:

Notamos que la función intensidad depende del tiempo, es decir según los valores que tome t, los valores de I variarán.

Por ejemplo, ¿ Qué valor toma I cuanto t = 0?

Y esto sucede según el problema al amanecer.

¿ Qué valor toma I cuanto t = D/2?

Es decir en t = D/2, la función Intensidad toma el máximo valor.

¿En que tiempo t la función Intensidad toma el valor Im/2?


De la ecuación trigonométrica anterior despejemos el valor de t


Para saber que valores toma t bastará saber que ángulos toma el arcSen(1/2), si restrigimos las soluciones del arcSen(1/2) de 0 a 2π tenemos que arcSen(1/2) = π/6 o también arcSen(1/2) = 5π/6
Luego:


Es decir durante el día 2 veces la Intensidad de la luz toma el valor de Im/2

Resolución de triángulos oblicuangulos Problema resuelto

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Problema 2


Christopher escribió:

Hallar el valor de x en :


Solución:

Teoria Relacionada gracias a WIKIPEDIA
- Ley de senos


Bastará con aplicar la "ley de senos" para poder calcular el valor de x.



Procedemos a racionalizar:

Sistema de ecuaciones Problema resuelto

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Problema 1


El aprendiz escribió:

En un lugar oscuro se encuentran entre arañas y moscas, 80 cabecitas y 600 patitas. ¿cuántas arañas hay?

Solución:

Antes de resolver el problema, veamos el siguiente ejemplo, donde:
a : número de arañas
m : número de moscas



Luego el planteamiento del problema propuesto será:

a + m = 80 ......(i)
8a + 6m = 600 ......(ii)

de la ecuación (i), tenemos que:
m = 80 - a

Reemplando este resultado en la ecuación (ii):
8a + 6(80 - a) = 600 → 8a + 480 - 6a = 600 → 8a - 6a = 600 - 480 → 2a = 120 → a = 60

Hay 60 arañas.

Sistemas de Medición Angular Problema resuelto

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Problema 2

Halle la mitad del complemento de α = 27° 23' 46''

Solución:

Sabemos que:


Calculemos a cuanto equivale 1 minuto sexagesimal( 1'), para ello es como si tuvieramos:


Ahora calculemos a cuanto equivale 1 segundo sexagesimal( 1''):


α = 27° 23' 46'' es decir: α = 27° + 23' + 46''
Luego :


Entonces el ángulos α es:


El complemento del ángulo α es : 90º - 27.396º = 52.604º
Luego, la mitad del complemento del ángulo α es : 26.302º