IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO DOBLE Problema resuelto

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

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Problema


Calcular el cos36°


Solución:

Por un problema anterior sabemos:


Si colocamos el sen18° en un triángulo rectángulo:



Vemos que no conocemos la longitud del lado AB

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del cateto AB



Entonces el triángulo rectángulo de 18° y 72° es:



Del triángulo:


Sabemos por identidades trigonométricas de ángulo doble:


Luego de (I),(II) y (III):

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO TRIPLE Problema resuelto

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Problema

Calcular el Sen18°


Solución:

Sabemos que:
Si la suma de dos ángulos agudos es 90° entonces el seno de uno es igual al coseno del otro, es decir:


Por otro lado de la siguiente igualdad:

deducimos que:


Sabemos por identidades trigonométricas de ángulo triple:


De (I) en (III):


Operamos tratando de expresar la ecuación en función de una sola razón trigonométrica.


Pasando todo al primer miembro de la ecuación trigonométrica:


Notamos que (IV) es una ecuación de 2do grado cuya variable es "senx", por tanto al calcular las soluciones de esta ecuación calcularemos las soluciones del "senx"


Tenemos 2 soluciones, la 1ra solución resulta ser mayor que cero y la 2da solución resulta ser menor que cero.

Pero el senx debe tomar solo una solución ¿Cuál elegimos?

De (II) vemos que x=18°, es decir x es un ángulo agudo.

Sabemos que las razones trigonométricas de los ángulos agudos siempre son mayores que cero por lo tanto el senx tomara el valor de la 1ra solución.

Dado que x=18°, concluimos:


NOTA:
En el paso (i) al ser el cosx distinto de cero se procede a eliminarlo sin problemas.

INECUACIONES Problema resuelto

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Problema

Calcular el conjunto solución de la siguiente inecuación:


Solución:

Teoria Relacionada gracias a WIKIPEDIA
- Recta real
- Inecuación


Al factorizar el polinomio obtenemos 2 factores:


Igualando a cero cada uno de los factores obtenemos los puntos críticos.


Teniendo en cuenta (I) la inecuación será:


Luego dibujemos en la recta real los puntos críticos calculados.
Notamos que obtenemos 3 regiones


El método nos dice que:
La región 1 será representada por el signo +.
La región 2 será representada por el signo -.
La región 3 será representada por el signo +.

Nota: Si tendríamos mas regiones solo alternaríamos los signos.



Notamos que en la inecuación:

el signo de desigualdad es el menor, esto nos indica que debemos tomar la región negativa, en este caso la región 2.

Es decir los valores que toma x son:

o también:

CIRCUNFERENCIA Bosquejo

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Problema

Una persona deja un balon flotando en el agua, el agua se enfrio y se congelo y la esfera fue extraida del hielo dejando un agujero de 8cm de profundidad y de 24 cm de diametro (OJO refiriendose solo al agujero). ¿Cuál es el radio de la esfera (pelota) en centímetros?


Solución:

Dibujemos una vista frontal de la esfera(pelota) y con los datos dados obtenemos:

En el triángulo rectángulo OAB aplicando el teorema de pitágoras tendremos: