Funciones Trigonométricas Inversas Bosquejo

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
¿Cómo hallo el valor del ángulo determinado por cada una de las siguientes funciones?

arctan(1)
arctan(2)
arcsec(-1)
arcctg(-2)
arcsen(1/2)
arccos(-1/2)



Bosquejo:

En el triángulo rectángulo de 30° y 60°:



Sabemos que:



De aqui:



Es decir podemos establecer la siguiente regla:



donde:
F.T : función trigonométrica
F.T.I : función trigonométrica inversa

Desde el punto de vista gráfico:

¿Cuál es el sen(30°)?
Para ello, en la gráfica de la función sen(x) localicemos el valor que le corresponde al ángulo de 30°.



vemos que este valor es 1/2, es por ello que decimos que:




¿Qué ángulo corresponde a arcSen(1/2)?

En la gráfica de la función inversa arcSen(x) localicemos el ángulo que corresponda al arcSen(1/2)





vemos que este valor es 30°, es por ello que decimos que:




Conclusión: Para resolver este tipo de problemas debes de conocer las funciones trigonométricas de los ángulos( de los ángulo notables o usados con regularidad ) de tal forma que puedas hallar la correspondencia entre ángulo y número facilmente.

Nota:
Generalmente se suele expresar los ángulos en grados sexagesimales o en radianes, podemos ver esto en el último gráfico.

Razonamiento lógico Bosquejo

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

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Problema

Nos escribieron:
Con 6250 soles en billetes de 10 soles se pueden hacer tantos fajos iguales a estos billetes.¿Cuántos billetes tiene cada fajo?, ¿Cuál es el valor de cada fajo?


Bosquejo:

Fácilmente se deduce que tenemos 625 billetes.
Estos billetes debemos agruparlos en fajos que contengan el mismo número de billetes.
luego, se debe cumplir:



Es decir debemos de encontrar 2 números que multiplicados resulten 625, donde el 1er número represente el # de billetes que contiene un fajo y el 2do número represente el # de fajos que hay en total.

Encontrarás 3 formas de de acomodar los billetes en fajos de igual cantidad de billetes, como sugerencia guíate de los divisores de 625.

Regla de Tres Simple y Compuesta Teoría

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

En vista que he recibido frecuentemente varios problemas sobre regla de tres, presento esta pequeña teoría de regla de tres simple y regla de tres compuesta, espero con esto despejar sus dudas.


Regla de Tres
Consiste en hallar un valor de una magnitud en una proporción geométrica o hallar ese valor mediante la comparación de 3 o más magnitudes proporcionales.

1) Regla de Tres Simple
Se dice que es simple porque en el problema solo intervienen 2 magnitudes.

a) Regla de Tres Simple Directa
Se dice que es directa porque en el problema las 2 magnitudes que intervienen son Directamente proporcionales (DP). La forma de resolver un problema de Regla de tres simple directa en esencia será la siguiente:

b) Regla de Tres Simple Inversa
Se dice que es inversa porque en el problema las 2 magnitudes que intervienen son Inversamente proporcionales (IP). La forma de resolver un problema de Regla de tres simple inversa en esencia será la siguiente:

2) Regla de tres Simple Compuesta
Se dice que es compuesta porque en el problema intervienen más de 2 magnitudes. La forma de resolver un problema de Regla de tres simple compuesta en esencia será el siguiente, suponemos que en el problema se reconocen 4 magnitudes:

Regla de Tres Compuesta Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:
Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800m² en 50 días ¿Cuánto tiempo necesitarán 100 hombres 50% más eficaces para cavar una zanja de 1200m² cuya dureza es 3 veces de la del terreno anterior?


Bosquejo:

Considerando los datos y estableciendo si son Directamente proporcionales (D.P) o Inversamente proporcionales (I.P) las magnitudes que intervienen en el problema con la magnitud # de días(que es la magnitud que contiene la incognita), una forma de plantear el problema sería:



Según el cuadro:



Resolviendo lo anterior calcularás el número de días pedido.

Nota:
1)Decir 50% más eficaces es equivalente a decir 1.5 más eficaces.
2)Decir cuya dureza es 3 veces de la del terreno anterior podríamos interpretarlo comos si tuviésemos el triple del terreno anterior.

Problemas relacionados:
1)Se han pagado $ 144000 a 24 obreros que han trabajado 5 días de...[Leer Más]
2)Un carpintero emplea 3 horas en construir un mueble, mientras que...[Leer Más]

Mezclas Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:
En un cilindro se tiene 72 litros de mezcla de alcohol y agua en relación de 3 a 5 respectivamente, ¿Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9?

Bosquejo:

Una forma de resolver seria la siguiente.

Si:
H representa la cantidad de litros de alcohol que contiene el cilindro y
A representa la cantidad de litros de agua que contiene el cilindro.
Luego:


De (i) y (ii) calcularás la cantidad de litros de alcohol(H) y agua(A) que contiene el cilindro.

Si:
x representa la cantidad de litros de alcohol a añadir al cilindro.



Resolviendo la ecuación (iii) hallarás la cantidad de litros de alcohol a añadir.

Identidades Trigonométricas Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:
Resolver:



Bosquejo:

Efectuamos:



Multiplicamos por 2 a ambos miembros de la ecuación.



Resolviendo la ecuación (i) encontrarás el valor del ángulo A.

Nota:
Multiplicamos por 2 para poder hallar la expresión equivalente a Sen 2A.

Regla de Tres Compuesta Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:
Se han pagado $ 144000 a 24 obreros que han trabajado 5 días de 8 horas diarias ¿Cuánto se abonara en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día?


Bosquejo:

Considerando los datos y estableciendo si son Directamente proporcionales (D.P) o Inversamente proporcionales (I.P) las magnitudes que intervienen en el problema con la magnitud Pago(que es la magnitud que contiene la incognita), tenemos:



Según el cuadro:



Resolviendo lo anterior calcularás el pago a abonar.

Nota:
En (i) la forma de colocar las fracciones esta supeditado a como son las magnitudes (D.P o I.P).

Rectas Problema resuelto

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Problema

Nos escribieron:
Determine el valor de "k" para que las rectas 3x+ky+7=0 y kx-3y-2=0 sean perpendiculares.


Bosquejo:

Una forma de resolver este problema es la siguiente.
Toda recta puede ser expresada de la forma:


donde:
m es la pendiente de la recta, este parámetro nos permite averiguar si dos rectas son paralelas o perpendiculares.

Por ejemplo supongamos que tenemos las siguientes rectas:


Caso I : Rectas Paralelas
Ocurrirá cuando:


Caso II : Rectas Perpendiculares
Ocurrirá cuando:


Luego, las rectas pueden ser expresadas de la siguiente forma:



Además como:



Concluimos que estas 2 rectas son perpendiculares cuando k toma cualquier número real ().

Nota:
Cuando k = 0 se comprueba que ambas rectas siguen siendo perpendiculares.