División de Fracciones Teoría

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Para Dividir 2 fracciones tenemos que tener en cuenta:

1) Toda fracción esta compuesta por un numerador y un denominador.



2) La división de 2 fracciones generalmente resulta otra fracción, la llamaremos fracción resultante.

3) En la división de 2 fracciones se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, este resultado será el numerador de la fracción resultante, luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, este resultado será el denominador de la fracción resultante.

No obstante, existe una regla práctica para dividir 2 fracciones que dice:"Al dividir 2 fracciones obtenemos una fracción resultante cuyo numerador será igual al producto de los extremos y el denominador será igual al producto de los medios."

Explicaremos la regla práctica mediante un ejemplo:

Ejemplo
Dividir:


Solución:
Paso 1: Acomodamos la división a una forma equivalente:




Paso 2: En la forma equivalente de la división, llamaremos términos extremos al numerador de la primera fracción y al denominador de la segunda fracción, llamaremos términos medios al denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.




Paso 3: Aplicamos la regla practica definida anteriormente.



Luego el resultado de dividir 2/5 por 7/3 es 6/35.

Multiplicación de fracciones Teoría

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Para multiplicar 2 fracciones tenemos que tener en cuenta:

1) Toda fracción esta compuesta por un numerador y un denominador.



2) La multiplicación de 2 fracciones generalmente resulta otra fracción, la llamaremos fracción resultante.

3) En la multiplicación de 2 fracciones se multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, este resultado será el numerador de la fracción resultante, luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, este resultado será el denominador de la fracción resultante.



Ejemplo:
Hallar el resultado de multiplicar :


Solución:

Tenemos que multiplicar 2/5 por 7/3, identificamos los numeradores y denominadores de las fracciones:




Para calcular el numerador y denominador de la fracción resultante aplicamos 3).



es decir:



Luego el resultado de multiplicar 2/5 por 7/3 es 14/15.

Areas Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

Calcular la siguiente área sombreada del cuadrado:




Bosquejo:

Por simetria vemos que el cuadrado ha sido seccionado en 8 triángulos de igual área, si nombramos cada uno de ellos:



tendremos que:


Luego si trasladamos el área sombreada del triángulo C al B y del triángulo E al H, tendremos:




Es decir el área sombreada equivale a la mitad del área del cuadrado, que fácilmente puede ser calculado ya que conocemos la longitud del lado.

Teoria de Exponentes Respuesta

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Problema

Nos escribieron:

Alguien me puede decir cuánto es x en:




Respuesta:

Planteo de ecuaciones Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

Las dos terceras partes de la edad de Luis excede en seis años la edad de José.
¿Cómo se representa?


Bosquejo:

Si:
L representa la edad de Luis y
J representa la edad de José, entonces el enunciado estará representado por:
Los puntos simulan las personas y tienes 6 lineas de distintos colores.

Razonamiento Lógico Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

Con 7 personas forma 6 filas de 3 personas por fila.


Bosquejo:


Los puntos simulan las personas y tienes 6 lineas de distintos colores.

Offtopic - ¿Como suscribirse?

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Les invito a que vean el siguiente video de Common Craft que explica que es y para que sirve RSS.

Identidades Trigonométricas Problema resuelto

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Problema


Demostrar:


Solución:

Recordando la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos:



Dividiendo (i) entre cosxcosy



Reacomodando:



Multiplicando sen(x+y):

Teoría de Exponentes Problema resuelto

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Problema


Demostrar:


Solución:

Nos preguntaron haciendo referencia a este problema esta demostración.

Si consideramos que:



Elevando al cuadrado (i) :



Ahora sacando la raíz cuadrada:



Además si consideramos que:



Reemplazando (iii) en (ii) y este en (i) demostraremos que:



Notas
1.En (i) notamos que Z es un Real no negativo, es decir siempre será mayor que cero o cero.
2.Al sacar la raiz cuadrada, en (ii) Z toma el valor positivo esto por la nota 1.

Razonamiento Matemático Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

Formar los números 1,2,3,4,5 usando solamente 3 cincos(puedes utilizar adicion, sustracción, multiplicación, división, potencia y radicales), por ejemplo: para el 2 puede ser (5+5)entre 5.

Bosquejo:




Te toca a ti formar el número 3 con los tres cincos.

Fracciones Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

Un hombre compra una botella de 3/4 de vino; si se toma 3/8. entonces ¿Cuánto le queda?

Bosquejo:




es decir

Fracciones Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

Despues de vender los 3/5 de una pieza de tela quedan 40 metros ¿Cuánto era la longitud de la pieza?

Bosquejo:

Si L representa la longitud total de la pieza luego de vender 3/5 de la longitud de la tela tendríamos:




Según el gráfico:



Resolviendo la ecuación (i) calcularás la longitud de la tela que queda es decir x que a su vez vale 40.

Fracciones Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

Durante la primera hora de trabajo el dueño de un puesto de revistas vendió la cuarta parte de los diarios que tenia y durante la segunda hora vendió la sexta parte de los que le quedaban. Contó los ejemplares y notó que aún habían 25. ¿Cuántos diarios tenía al principio?

Bosquejo:

Si T representa el número total de diarios que tiene el vendedor, entonces luego de vender 1/4 de los diarios le queda por vender:



3/4 de los diarios, por que 1/4 de los diarios mas 3/4 de los diarios resulta el total de los diarios, es decir:


En la 2da hora vendió:


Ahora le queda por vender x de los diarios, pero según el enunciado vemos que son 25, por lo tanto x = 25.

Realizando una suma similar a (i) calcularás el total de los diarios.

Formula de Euler, Números complejos Bosquejo

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

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Problema

Nos escribieron:

Demostrar que:


Bosquejo:

La fórmula de Euler es:



También podemos expresarla:




Si realizas una semidiferencias de (i) y (ii), obtendras la expresión del seno enunciada.

Nota
Si realizas una semisuma de (i) y (ii), obtendras la expresión del coseno.

Sistemas de Medición Angular Bosquejo

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Este es un problema que nos envió resuelto nuestro amigo Alex, nos cuenta que es un problema hecho en la Academia Cesar Vallejo - 100% a la UNI, agradecemos su colaboración, si deseas puedes enviarnos tu problema resuelto que lo publicaremos en el blog con el reconocimiento del caso.

Problema

El número de grados x de cierto ángulo es igual a la semidiferencia entre π veces su número de grados sexagesimales y el cuádruple de su número en radianes. Entonces halle un grado x en radianes.

Bosquejo:

Sabemos que la relación entre los sistemas sexagesimal y radial es:



donde:
S : Representa al número de grados sexagesimales
R : Representa al número de radianes

Si ademas consideramos que:
D : Representa al número de grados x

Según el enunciado del problema



Reemplazando (i) en la ecuación anterior y efectuando:



que es una relación numérica entre el sistema x y el sistema radial.
Para hallar un grado x bastara que D tome el valor de 1 en (ii).



Nota
La relacion entre los numeros de grados x, grados sexagesimales, grados centesimales , radianes seria:

Funciones, Derivadas Bosquejo

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Problema

James nos escribió:

El departamento de investigacion de fragancias para mujeres "Las Bonitas" observa que cuando sus perfumenes se venden a $200 cada uno se venden 100 al mes. Sin embargo cuando el precio sube a $250, solo se venden 50 al mes. Suponiendo que la demanda es lineal ¿A que precio se deben vender para obtener los ingresos máximos?


Bosquejo:


Colocando los datos en un gráfico, obtenemos:




donde el eje X nos representa el número de unidades vendidas y el eje Y el precio de cada perfume.

Calculemos la ecuación de la recta (azul), del gráfico inferimos que la pendiente es -1.



Luego, la ganancia(G) será:



Derivando la ganancia:



Igualando (ii) a cero encontrarás el numero de perfumes vendidos que hacen que la ganancia sea máxima, luego de (i) ya puedes calcular el precio de cada perfume.

Nota
La segunda derivada G'' resulta -2 esto comprueba que el valor de x maximiza la función G.

Sistemas de Medición Angular Bosquejo

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Problema

Nos escribieron:

¿Cómo convertir 60º 30' a grados sexagesimales?

Bosquejo:

Sabemos que:



Luego:



Convertimos 30' a grados sexagesimales:



Para convertir 60º 30' en grados sexagesimales bastará sumar el equivalente en grados de 30' a los 60° ya existentes.