Ayuda en Matemática - Teoría y cantidad de problemas resueltos: abril 2010

Funciones - Relaciones, Par ordenado, Conjuntos
Teoría - Primera parte

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Definamos, recordemos algunos conceptos previos que nos ayudarán a comprender que es una función.

Conjuntos
Es una agrupación, colección de objetos llamados elementos.
Un conjunto puede ser representado gráficamente a través de un Diagrama de Venn.
Por ejemplo, tenemos que el conjunto A es:

Vemos que los elementos del conjunto son números y son los números 1, 2 y 3.
Luego expresado matemáticamente el conjunto A será:

Si tenemos que el conjunto B es:

Vemos que los elementos del conjunto son letras y son las letras a y b.
Luego expresado matemáticamente el conjunto B será:

Notar que en un caso los elementos son números y en el otro los elementos son letras.

Si tenemos el conjunto T y el conjunto R diremos que "R esta incluido en T" si:

Ejemplo1
Precisar si el conjunto R esta incluido en el conjunto T, si:

Solución
Si representamos los conjuntos en Diagramas de Venn notamos que:

Un conjunto puede incluir a varios conjuntos.
¿Cómo así?
Supongamos que tenemos un conjunto H y este tiene "n" elementos, entonces existirían 2ⁿ conjuntos que estarán incluidos en el conjunto H; estos conjuntos incluidos se llaman subconjuntos.

Par Ordenado
Es un ente matemático representado por (a,b),donde

A "a" se le llama primera componente y a "b" segunda componente.

Ejemplo2
¿Cuál es la primera componente y segunda componente de los siguientes pares ordenados?
a) (1,b)
b) (2,a)
c) (3,b)
d) (1,a)

Solución
a) Primera componente es 1 y la Segunda componente es b.
b) Primera componente es 2 y la Segunda componente es a.
c) Primera componente es 3 y la Segunda componente es b.
d) Primera componente es 1 y la Segunda componente es a.

Fácil ¿verdad?

Pero ahora nos preguntamos: ¿Podemos formar un conjunto cuyos elementos sean los pares ordenados del ejemplo2?

Sí se puede, supongamos que el conjunto se llame C, entonces:

Dado que C es un conjunto podemos representarlo gráficamente mediante un Diagrama de Venn.

Producto Cartesiano A X B
Se define el producto cartesiano A X B para 2 conjuntos, en este caso el conjunto A y el conjunto B.
El producto cartesiano A X B es un conjunto que tiene como elementos pares ordenados.
Simbolicamente:

Ejemplo3
Calcular el producto cartesiano A X B, si:

Solución
El distribuir los elementos de los conjuntos en un diagrama llamado "diagrama del árbol" no facilitará el cálculo del producto cartesiano de los conjuntos.

Luego:

Dado que el producto cartesiano A x B es un conjunto podemos representarlo gráficamente mediante un Diagrama de Venn.

Relaciones
Sean 2 conjuntos A y B. Un conjunto R cuyos elementos son pares ordenados se llama una RELACION de A en B si R esta incluido en el conjunto del producto cartesiano A x B.

Ejemplo4
Si los conjuntos A,B y C son los conjuntos mencionados a lo largo de este post.
¿C es una RELACION de A en B?
Solución
Sabemos que para que C sea una RELACION de A en B, el conjunto C debe de estar incluido en A x B.

Realizando un procedimiento análogo al ejemplo1, tendremos:

Donde claramente vemos que C esta incluido en A x B, por lo tanto C es una RELACION de A en B.

Existen varios conjuntos que estarán incluidos en A x B.
Más precisamente hablando, si A x B tiene n elementos, entonces existirán 2ⁿ conjuntos que estarán incluidos en A x B por tanto existirán 2ⁿ RELACIONES de A en B.
Todo esto porque A x B tiene 2ⁿ subconjuntos y todo subconjunto esta incluido en A x B.

Actualización: La segunda parte ya esta lista, la encuentras aqui.

Sistemas de ecuaciones
Problema resuelto

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Problema

Un frutero gasta 3 sumas iguales de dinero en comprar manzanas, naranjas y plátanos. Cada naranja cuesta 10 euros menos que una manzana y 15 euros más que un platano; en total compró 150 frutas. El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos platanos como pudo comprar por 150 euros. ¿cuanto invirtió en total el frutero?

Sug. En función a una constante resolver el sistema de ecuaciones.

Solución
Supongamos que:
x : es el número de manzanas que compró el comerciante.
y : es el número de naranjas que compró el comerciante.
z : es el número de plátanos que compró el comerciante.
m : el precio de una sola manzana.
n : el precio de una sola naranja.
p : el precio de un solo plátano.

La expresión:"Un frutero gasta 3 sumas iguales de dinero en comprar manzanas, naranjas y plátanos".
Traducido matemáticamente seria:

Si asumimos que la suma de dinero que gasta el frutero en comprar manzanas o naranjas o plátanos es k, entonces:

De (i), podemos deducir las siguientes igualdades:

La expresión:"Cada naranja cuesta 10 euros menos que una manzana y 15 euros más que un plátano".
Traducido matemáticamente seria:

De donde podemos decir que:

La expresión:"en total compró 150 frutas".
Traducido matemáticamente seria:

Finalmente la expresión:"El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos platanos como pudo comprar por 150 euros.".
Traducido matemáticamente seria:

Estos son los datos dados por el problema, de aquí en adelante viene la resolución del sistema de ecuaciones.

Como z representa el número de plátanos que compró el comerciante, entonces con certeza decimos que z es mayor que cero, gracias a esto podemos dividir cualquier expresión por z con la seguridad que no variaremos la ecuación.

Luego dividimos la ecuación anterior por z:

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (i) y (ii) en la ecuación anterior:

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (iv) en la ecuación anterior:

Despejamos el valor de k de la ecuación anterior:

Por otro lado dividimos entre z la ecuación (v):

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (ii) en la ecuación anterior:

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (iv) en la ecuación anterior:

Si te das cuenta las ecuaciones (vi) y (vii) forman un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas.

Resolviendo este sistema, hallamos:

Como p representa el precio de una fruta, obviamente p es mayor que cero, por lo tanto p = 15

Reemplazando en (iv) el valor de p:

Reemplazando en (vi) el valor de p:

Por lo tanto el frutero invirtió 3600 euros.

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Proposiciones Lógicas
Teoría - Segunda parte

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

En la primera parte habíamos aprendido que representa una proposición lógica, a partir de ahora centrémonos en el kit del asunto que es la interpretación de las tablas de verdad de las Proposiciones compuestas.
Cuando hablemos de "valor de verdad" nos estaremos refiriendo a verdadero o a falso.
Cuando digamos p nos estaremos refiriendo a la proposición p.
Saber interpretar tablas de verdad nos ayudará mucho a la hora de resolver problemas.

Proposiciones compuestas básicas
La Disyunción:
Su símbolo:

Su representación con las proposiciones p, q :

La forma de leer la representación anterior : p o q

Su tabla de verdad:

Recordar que en la tabla de verdad "V" denota a verdadero y "F" a falso.

De la tabla de verdad deducimos:

"p v q" es falsa solamente cuando p es falsa y q es falsa, en cualquier otro caso es verdadera.

Si tenemos el siguiente caso:

Donde p es verdadero, no sabemos el valor de verdad que toma q y queremos saber que valor de verdad toma p v q.
Podemos decir con certeza que p v q es VERDADERO:

¿Por qué?
Veamos q puede tomar solo 2 valores de verdad, es decir q puede ser verdadero o q puede ser falso, entonces:

Si vemos la tablas de verdad de p v q, notaremos que:

p v q es siempre verdadera.
Conclusion: En una disyunción si una proposición es verdadera la disyunción siempre será verdadera.

Si tenemos otro caso:

Donde p es falso, no sabemos el valor de verdad que toma q y queremos saber que valor de verdad toma p v q.
El valor de verdad que toma p v q es el valor de verdad que tomará q.
¿Por qué?
Veamos q puede tomar solo 2 valores de verdad, es decir q puede ser verdadero o q puede ser falso, entonces:

Si vemos la tablas de verdad de p v q, notaremos que:

el valor de verdad que toma p v q es igual al valor de verdad que toma q.
Conclusion: En una disyunción si una proposición es falsa la disyunción tomará el valor de verdad de la otra proposición.

Factorización
Teoría - Primera parte

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Factorización
Es el proceso que consiste en expresar un polinomio bajo la forma de un producto de factores.

Métodos

Factor común: Para factorizar "extraemos la variable(s) que se repite(n)".

a.En un monomio:

Ejemplo1
Factorizar:

Solución
Inspeccionamos el polinomio dado y buscamos que variable se repite en cada término, en este caso se repite la variable x, lo escribimos con color azul.