En la Primera Parte aprendimos que una Relación no es más que un conjunto que esta incluido en el conjunto producto cartesiano.
Además vimos que el producto cartesiano incluye 2ⁿ RELACIONES, es decir incluye a varias RELACIONES.
Si de estas RELACIONES separamos a aquellas que cumplan la siguiente condición en sus elementos:
"A cada primera componente solo le corresponde una y solamente una segunda componente".
Separaríamos varios conjuntos que son Relaciones y que a la vez cumplen con la condición anterior, a estos conjuntos llamaremos FUNCIONES.
Ejemplo1
De las siguientes relaciones cuales son FUNCIONES.
Solución
Sabemos que para que una relación sea un FUNCION debe de cumplir la siguiente condición en sus elementos:"A cada primera componente solo le corresponde una y solamente una segunda componente".
Luego:
s1. El conjunto C tiene como elementos 4 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 1,2 y 3; y como segundas componentes las letras a y b.
Vemos que los pares ordenados (1,a) y (1,b) no cumplen con la condición dada porque la primera componente 1 tiene dos segundas componentes, por lo tanto la relación C NO es una función.
s2. El conjunto D tiene como elementos 3 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 1 y 2; y como segundas componentes las letras a y b.
Vemos que los pares ordenados (2,a) y (2,b) no cumplen con la condición dada porque la primera componente 2 tiene dos segundas componentes, por lo tanto la relación D NO es una función.
s3. El conjunto E tiene como elementos 3 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 1,2 y 3; y como segunda componente la letra a; es decir a las PRIMERAS COMPONENTES se les asigna la misma SEGUNDA COMPONENTE.
Vemos que los pares ordenados (1,a),(2,a) y (3,a) cumplen con la condición dada porque a cada primera componente solo se le asigna una segunda componente, por lo tanto la relación E es una función.
s4. El conjunto F tiene como elementos 2 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 2 y 3; y como segunda componente las letras a y b.
Vemos que a cada primera componente solo se le asigna una segunda componente, por lo tanto la relación E es una función.
s5. El conjunto H tiene como elemento un solo par ordenado,por lo tanto la relación E es una función.
Luego:
Conclusiones
1) De s1. y s2. notamos en los pares ordenados si se repite la primera componente entonces esa relación NO es función, esto se cumple generalmente.
2) De s3. notamos en los pares ordenados si no se repiten las primeras componentes y si se repiten las segundas componentes entonces esa relación SI es una función.
Ejemplo2
¿Cómo se obtuvieron los conjuntos del Ejemplo1?
Solución
En resumen, al realizar el producto cartesiano de 2 conjuntos obtenemos el conjunto AXB.
Por s1. sabemos que el conjunto C es una Relación mas no una Función(línea de color roja), el conjunto C se obtiene de la siguiente forma.
Por s2. sabemos que la Relación D no es una Función(línea de color azul), el conjunto D se obtiene de la siguiente forma.
Ademas.
Al conjunto A se le llama Conjunto de Partida de la Relación.
Al conjunto B se le llama Conjunto de Llegada de la Relación.
Por s1. , s2. , s3. sabemos que las Relaciones E,F y H son funciones, se obtuvieron de la siguiente forma.
Ademas.
Al conjunto A se le llama Conjunto de Partida de la función.
Al conjunto B se le llama Conjunto de Llegada de la función.
Vemos que las funciones son conjuntos cuyos elementos son pares ordenados.
Dominio y Rango de una función
Sabemos que una función es un conjunto de pares ordenados, al conjunto formado por las primeras componentes de estos pares ordenados llamaremos DOMINIO DE LA FUNCION; al conjunto formado por las segundas componentes de estos pares ordenados llamaremos RANGO DE LA FUNCION.
Notar que el conjunto DOMINIO DE LA FUNCION esta incluido en el conjunto de Partida de la función.
También que el conjunto RANGO DE LA FUNCION esta incluido en el conjunto de Llegada de la función.
Al dominio de la función F lo denotaremos por Dom F, y al rango de la función F lo denotaremos por Ran F.
Para la función F del ejemplo2, por s4. conocemos el conjunto dominio de la función F y el conjunto rango de la función F ademas sabemos que estos conjuntos están incluidos en el conjunto de partida y llegada respectivamente, luego tendremos:
También para la función H del ejemplo2, tendremos:
