Calcular la integral
\( \int \limits_{y=-\infty}^{y=+\infty} e^{-x^2} \cdot dx \)
Sug. Utilizar coordenas polares resolver la integral.
Solución
Nos piden calcular la siguiente integral:
\( I = \int \limits_{x=-\infty}^{x=+\infty} e^{-x^2} \cdot dx \textrm{ .....(}i\textrm{)} \)
Dado que "x" es una variable muda la anterior integral también puede ser expresada por:
\( I = \int \limits_{y=-\infty}^{y=+\infty} e^{-y^2} \cdot dy \textrm{ .....(}ii\textrm{)} \)
Multiplicando (i) y (ii):
\( I(I) = (\int \limits_{x=-\infty}^{x=+\infty} e^{-x^2} \cdot dx )(\int \limits_{y=-\infty}^{y=+\infty} e^{-y^2} \cdot dy) \)
Operando:
\( I^2 = \int _{y=-\infty}^{y=+\infty} \int _{x=-\infty}^{x=+\infty} e^{-x^2} e^{-y^2} \cdot dx \cdot dy \)
\( I^2 = \int _{y=-\infty}^{y=+\infty} \int _{x=-\infty}^{x=+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \cdot dx \cdot dy \)
Calculemos la integral anterior usando coordenadas polares, para ello recordemos
\( x=r cos \theta \\ y=r sen \theta \\ r^2=x^2+y^2 \)
\( \textrm{Jacobiano: } dx \cdot dy = r dr \cdot d\theta \)
Ademas definamos los límites de integración; en coordenada cartesianas el área de integración es todo el plano dado que "x" va de menos infinito a mas infinito al igual que "y",la misma área en coordenadas polares será:
\( r: 0 \rightarrow \infty \\ \theta: 0 \rightarrow 2\pi \)
Luego
\( I^2 = \int _{y=-\infty}^{y=+\infty} \int _{x=-\infty}^{x=+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \cdot dx \cdot dy \\ \rightarrow I^2 = \int _{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int _{r=0}^{x=+\infty} e^{-r^2} r dr \cdot d\theta \)
Procedemos a integrar
\( -2I^2 = \int _{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int _{r=0}^{x=+\infty} (-2r)e^{-r^2} dr \cdot d\theta \\ \rightarrow -2I^2 = \int _{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int _{r=0}^{x=+\infty} d(e^{-r^2}) \cdot d\theta \\ \rightarrow -2I^2 = \int _{\theta=0}^{\theta=2\pi} e^-r^2 \Biggr|_{r=0}^{r=+\infty} \cdot d\theta \\ \rightarrow -2I^2 = \int _{\theta=0}^{\theta=2\pi} (0 - 1) d\theta \\ \rightarrow 2I^2 = \int _{\theta=0}^{\theta=2\pi} (1) d\theta \\ \rightarrow 2I^2 = (1)\Biggr|_{\theta=0}^{\theta=2\pi} d\theta \\ \rightarrow 2I^2 = (2\pi - 0) d\theta \\ I = \sqrt[]{\pi} \)
Esta integral es conocida como la Integral de Gauss