Hallar el término n-ésimo de la sucesión 1,1,2,4,7,11,16,...
Sug. Hallar la ecuación de diferencias y luego aplicar la transformada Z.
Solución
Resolveremos este problema usando la Transformada Z y su Inversa, no obstante existen otras formas de resolverlo.
Recordemos las siguientes fórmulas de la Transformada Z.
Ademas tengamos en cuenta las siguientes expresiones equivalentes.
Sabemos
Derivamos la expresión anterior
Nuevamente derivamos lo anterior
Observando la sucesión vemos que esta satisface la siguiente ecuación de diferencias, para n ≥ 0.
Aplicando la Transformada Zeta a la ecuación anterior
Teniendo en cuenta las fórmulas dadas anteriormente y cuando T=1, obtenemos:
Ademas como condición inicial tenemos
Finalmente obtenemos
La expresion z/(z-1) puede ser expresada de la siguiente forma:
La expresion z/(z-1)³ puede ser expresada de la siguiente forma:
Reemplazando (v),(vi) en (iv):
De aqui concluimos que el término n-ésimo es:
Facilmente podemos calcular cualquier término de la sucesión dada gracias a que conocemos f(n).
