Transformada de Fourier Problema resuelto

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Problema

Calcular la TDF de:

Sug. Derivar f(t) y proceder a calcular TDF.

Solución

Nos piden calcular la Transformada de Fourier de:



Para ello procedemos a derivar (i)



Aplicamos la TDF en ambos miembros de la ecuación anterior:



Recordemos las siguientes propiedades de la TDF:



Por tanto aplicando las propiedades en (ii):





Pero:



Esto en (iii):



Efectuando:



Integramos:







Solo nos faltaría hallar la constante c₁, para ello recordemos que:



Pero de (iv) notamos que obtenemos c₁ cuando w=0, es decir:



Evaluando en (v), w=0



De un ejercicio anterior sabemos el valor de la integral, por tanto c₁ será:



Luego de (iv), tendremos:




La gráfica de f(t) es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss

Integrales Problema resuelto

Aprendiendo matematicas con ejercicios propuestos por ustedes.

Problema

Calcular la integral

Sug. Utilizar coordenas polares resolver la integral.

Solución

Nos piden calcular la siguiente integral:



Dado que "x" es una variable muda la anterior integral también puede ser expresada por:



Multiplicando (i) y (ii):



Operando:





Calculemos la integral anterior usando coordenadas polares, para ello recordemos



Ademas definamos los límites de integración; en coordenada cartesianas el área de integración es todo el plano dado que "x" va de menos infinito a mas infinito al igual que "y",la misma área en coordenadas polares será:



Luego



Procedemos a integrar









finalmente:



Esta integral es conocida como la Integral de Gauss