Problema
El departamento de investigación de fragancias para mujeres "Las Bonitas" observa que cuando sus perfumes se venden a \(\$\)200 cada uno se venden 100 al mes. Sin embargo cuando el precio sube a \(\$\)250, solo se venden 50 al mes. Suponiendo que la demanda es lineal ¿A que precio se deben vender para obtener los ingresos máximos?
Solución 1:
Sabemos que la ecuación de una recta es:
\(
\cfrac{Y-y_{0}}{X-x_{0}}=m \quad ...(i)
\)
donde:
\(m\): es la pendiente de la recta, es un valor constante, nos indica cuan empinada es una recta.
\((x_{0},y_{0})\): es un punto de la recta, como se aprecia en el gráfico de abajo.
Podemos generalizar \((i)\) para dos puntos en la recta.
\(
\cfrac{Y-y_{0}}{X-x_{0}} =\cfrac{Y-y_{1}}{X-x_{1}} \quad ...(ii)
\)
Utilizando la propiedad aritmética:
\(
\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=\cfrac{a-c}{b-d}
\)
En \((ii)\):
\(
\cfrac{Y-y_{0}}{X-x_{0}} =\cfrac{Y-y_{1}}{X-x_{1}}=\cfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} \quad ...(iii)
\)
Si asumimos que el eje \(Y\) represente el \( \textrm{precio del perfume}\) y el eje \(X\) la \( \textrm{cantidad de perfumes vendidos}\) y dado que tienen una relación lineal, entonces el par ordenado \( (\textrm{precio del perfume},\textrm{la cantidad de perfumes vendidos})\) es un punto que pertenece a una recta.
Del enunciado se identifican 2 puntos:
\(
(x_{0},y_{0}) = (200,100)
\)
\(
(x_{1},y_{1}) = (250,50)
\)
Reemplazando en \((iii)\), tenemos:
\(
\cfrac{Y-200}{X-100} =\cfrac{Y-250}{X-50}=\cfrac{50}{-50}=-1
\\
\rightarrow Y = -X + 300 \quad ...(iv)
\)
Es decir:
La ganancia, \(G_{(x)}\), viene dada por:
\( G_{(x)}= (\textrm{precio del perfume}) \times (\textrm{cantidad de perfumes vendidos}) \)
\( G_{(x)}= (x) (y) \)
\( G_{(x)}= (x) (-x+300)
\\
\rightarrow G_{(x)}= -x^2+300x \quad ...(v)
\)
Queremos encontrar con que valor de \(x\) la función \(G_{(x)}\) alcanza su valor más grande, una forma de hacer ello es derivar la función \(G_{(x)}\) respecto a \(x\) e igualar a cero, es decir
\(
\cfrac{\mathrm{d}G_{(x)}}{\mathrm{d}x}=0
\\
\rightarrow \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x^2+300x)=0
\\
\rightarrow -2x+300 = 0
\\
\rightarrow x = 150
\)
Nota
La segunda derivada de \(G\), es decir \(G''\), resulta -2 esto comprueba que el valor de \(x\) maximiza la función G.