Problema
Simplificar:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!(n!-1)!(n-1)!n} \)
Solución
Simplifiquemos en partes:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!(n!-1)!\underbrace{(n-1)!n}_{(*)}} \)
Sabemos que: \( n(n-1)! = n! \) por lo tanto \( (*) = n! \)
Es decir:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!(n!-1)!n!} \)
Luego:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!\underbrace{(n!-1)!n!}_{(**)}} \)
Si suponemos que: \( n! = a \), entonces:
\(
\begin{matrix}
(n!-1)!n! & = & (\underbrace{n!}_{a}-1)!\underbrace{n!}_{a} \\
& = & (a-1)!a \\
& = & a! \\
& = & \underbrace{a}_{n!}! \\
(n!-1)!n! & = & n!!
\end{matrix}
\)
Es decir:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!n!!} \)
Luego:
\( E = \cfrac{n!!!}{\underbrace{(n!!-1)!n!!}_{(***)}} \)
Realizando el procedimiento analogo al anterior, si suponemos que: \( n!! = b \), entonces:
\(
\begin{matrix}
(n!!-1)!n!! & = & (\underbrace{n!!}_{b}-1)!\underbrace{n!!}_{b} \\
& = & (b-1)!b \\
& = & b! \\
& = & \underbrace{b}_{n!!}! \\
(n!!-1)!n!! & = & n!!!
\end{matrix}
\)
Es decir:
\( E = \cfrac{n!!!}{n!!!} \)
Simplificando:
\( E = 1 \)
