Problema
[Nivel:Intermedio]
Calcular la solución de la ecuación \( x \):
\(
\cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } = \cfrac{3}{ \sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } } + \cfrac{4}{ \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3} } }
\)
Solución
Recordando que:
\(
\sqrt{ a \pm 2 \sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}
\)
Si:
\(
\Bigg\{
\begin{matrix}
x + y & = & a \\
xy & = & b
\end{matrix}
\)
Luego:
\(
\sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } = \sqrt{x_{1}} - \sqrt{y_{1}}
\)
Si:
\(
\Bigg\{
\begin{matrix}
x_{1} + y_{1} & = & 7 \\
x_{1}y_{1} & = & 10
\end{matrix}
\)
Vemos que 5 y 2 cumplen el sistema de ecuaciones.
Es decir:
\(
\sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } = \sqrt{5} - \sqrt{2} \quad ...(i)
\)
Tambien tenemos:
\(
\begin{matrix}
\sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} & = & \sqrt{ 8 + 2 \times 2 \sqrt{3}} \\
& = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{4} \sqrt{3}} \\
& = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{4 \times 3}} \\
\sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} & = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{12}} \\
\end{matrix}
\)
Luego:
\(
\sqrt{ 8 + 2 \sqrt{12} } = \sqrt{x_{2}} + \sqrt{y_{2}}
\)
Si:
\(
\Bigg\{
\begin{matrix}
x_{2} + y_{2} & = & 8 \\
x_{2}y_{2} & = & 12
\end{matrix}
\)
Vemos que 6 y 2 cumplen el sistema de ecuaciones.
Es decir:
\(
\sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \quad ...(ii)
\)
Reemplazando \( (i) \) y \( (ii) \) en la ecuación que solicitan calcular:
\(
\cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } = \underbrace{ \cfrac{3}{ \sqrt{5} - \sqrt{2} } }_{(*)} + \underbrace{ \cfrac{4}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } }_{(**)} \quad (iii)
\)
Multiplicando el numerador y denominador por \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \) en \( (*) \) y por \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \) en \( (**) \):
\(
\begin{matrix}
\cfrac{3}{ \sqrt{5} - \sqrt{2} } & = & \cfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) } \\
(*) & = & (\sqrt{5} + \sqrt{2})
\end{matrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\cfrac{4}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } & = & \cfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{ (\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) } \\
(**) & = & (\sqrt{6} - \sqrt{2})
\end{matrix}
\)
Reemplazando en \( (iii) \):
\(
\begin{matrix}
\cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } & = & \sqrt{5} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}
& = & \sqrt{6} + \sqrt{5}
\end{matrix}
\)
Multiplicando el numerador y denominador por \( \sqrt{6} - \sqrt{5} \):
\(
\begin{matrix}
\cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } & = & \cfrac{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \\
& = & \cfrac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} }
\end{matrix}
\)
Luego:
\(
\sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } = \sqrt{6} - \sqrt{5}
\)
Si:
\(
\Bigg\{
\begin{matrix}
6 + 5 & = & 11 & \\
6(5) & = & x & = 30
\end{matrix}
\)
ALGEBRA Problema 21
